[转载] 由小破猫的赌局想到的

发信人: yaz (柏林低温武警), 信区: Soccer

我并不是要对赌局的内容作足球方面的分析，因为已经很久没有关注球队和球员的细节了，没有这方面的发言权。在看到小破猫的第一个赌局（德甲亚军）后我就对赌庄和赔率的机制产生了好奇心，于是就自己做了一点分析。这赌博和赌庄的历史悠久，毫无疑问，其机制早就被人研究透了。但可能也不是所有同学都对此了解的很清楚，特别是没有赌过球的，比如我这样的，所以我把我的分析写出来可能有一点点意义。以下完全是我闭门造车的理论，现实中的赌庄是不是这么回事，我不知道。如有错误，请不吝指正。

关键词：赌庄，赌客，赔率，期望收益，名义概率分布，实际概率分布，信息对称，信息不对称



一、赌庄的实质

赌庄是利用赌客的侥幸心理牟利的商业机构。赌庄和赌客之间的生意是一个零和游戏，赌庄的盈利就是赌客的亏损，反之亦然，因为在这个生意中钱的数量是守恒的。赌庄是要盈利的，它靠的不是侥幸心理而是规则的设计。如果规则的设计使赌庄从统计意义上讲要输钱，那它是慈善机构；如果规则的设计使赌庄从统计意义上讲不亏不盈，那它是二百五（还得承担维持运营的成本）。规则，必须使赌庄对赌客占有优势，而规则的核心是“赔率”。

所谓赔率，就是赌客押注押对后获得的回报比例。赌博的基本模式是这样的：在一轮赌博开始前理论上有N个可能结果，赌庄分别给每个可能的结果指定一个赔率，然后赌客押注。赌博结束后这N个结果中的一个或多个成为现实，这时赌庄就根据赔率对押对的赌注给予回报，而押错的赌注就被赌庄收为己有。比如赔率R=3, 如果赌客押对了，那么他连本带利拿回300%，净获利200%。因此，如果赌客押对，他的净获利比例是(R-1)。

那么，赌庄具体是怎么靠赔率的设定来盈利的呢？这就涉及到了“期望收益”的概念。我们这里说的期望收益是一个比例，它的数学定义是指同样的赌博重复无穷多次后，赌庄或赌客的平均收益比例（总收益和总赌注的比例）。具体计算公式，以赌客的期望收益G为例是: G=p(R-1)-q(100%), 其中R是赔率，p是赌客押对的概率，q是押错的概率。因为不是押对就是押错，所以p+q=1，于是我们就得到G=(pR-1). 期望收益是一个统计理论值，这意味着两点：一，在很多情况下这个值可以预先计算或估算；二，这个期望收益和实际收益是两码事。

如果赌客的期望收益是负的，赌庄就对赌客占有优势，就能期望盈利。因为赌庄是长期经营，所以期望收益基本上能够成为现实。看一个特定赌博对谁有利不能只看一轮或几轮的实际结果，甚至不能看谁在赌博中获胜的概率大，而要根据期望收益作判断。为了更清楚地说明这一点我们来看一个特殊的例子。比如甲乙二人玩掷骰子（只有一个骰子）的游戏，甲做庄家，规定：每一轮游戏乙可以从6个可能的点数中选出4个，如果掷出这4个中的1个就算乙赢，赔率为1.2。显然，乙押对的概率是2/3，大于押错的概率1/3。这个游戏就玩了一轮，乙押100元，结果赢了，获利20元。但是，在这个游戏中乙的期望收益是(2/3)(1.2)-1= -20%。于是，尽管乙押对的概率比押错的大，尽管实际上乙也赢了钱，我们必须说，这个游戏从规则上讲是对甲有利的。如果这个游戏玩的次数非常巨大的话，甲大致上会赢得乙所押总赌注的20%。从这个例子也可以看出，因为赌博是一个持续性的生意，决定赌庄业绩的就是他的期望收益，只要这个数字好它就可以高枕无忧地赚钱，而绝不用在乎一城一地、一时之得失。

我看到过赌庄“抽头”的说法，好像是指赌客赢钱后交一定比例给赌庄。其实同样的效果可以通过对赔率作调整实现。比如掷骰子押大小，赔率为1.8，赌庄另外抽头5%。于是，赌客如果押对就净赢赌注的71%，而这和赔率为1.71、赌庄不抽头的效果是一样的。所以，在我们的分析中可以不必考虑“抽头”的情况。

为了更进一步分析赌庄指定赔率的机制，我们分别考虑赌庄与赌客之间信息对称和不对称的情况。

二、信息对称的情况

这种情况是指赌庄和赌客对赌博的内容掌握同样的信息，因此对各种可能结果出现的概率分布有一致的认识。为简单明确起见，我们假定：一、赌庄和赌客掌握着完善的信息，他们对概率分布的判断是正确的、符合实际的概率分布的。二、赌客都是理智的，在赌博中会做对自己最有利的选择。

其实这种信息对称的情况是很普遍的，赌场里的大部分赌博就是这样的。比如“骰宝”，“轮盘赌”等，各种可能结果出现的概率分布是可以准确计算的，并无任何秘密可言。当然，我们最关心的赌球就不是这样的，那属于更复杂的信息不对称的情况。但是，研究较简单的信息对称的情况可以使我们了解赌博机制中的几个重要方面，从而能够进一步理解
信息不对称的情况。

在信息对称的情况下，我们有一个根本性的原理。

期望收益一致原理：赌庄设定赔率的理智选择是使赌客的各种押注选项的期望收益相等。

这是因为，如果不同押注选项的期望收益有高有低，那么赌客就只会选最高的期望收益押注，其他期望收益较低的押注选项等于作废。仍然以掷骰子押大小为例，因为大小出现的概率相等，为了使期望收益一致，大小的赔率应该等。如果赌庄偏偏规定大点数的赔率是1.9，小点数的赔率是1.7，那么理智的赌客只会押大不押小。当然，在这种情况下赌庄仍然能期待5%的收益，可是这种导致部分押注选项形同虚设的赔率设定岂不荒唐可笑？这等于是一种行为艺术，在有不同赌庄可选的情况下，很多赌客大概不会去搞这种行为艺术的赌庄玩。实际上，赌庄把大小的赔率都设为1.9同样能期待5%的收益，一点都不会少赚。

有了这个原理，我们就能从赔率反推出赌庄所判断的概率分布。比如在一个赌博中可能出现N个不同的结果，为了简单明确起见，我们假设这N个结果是互相排斥的，实际只能出现一个。假定赌庄给出的赔率分别是R1, R2,…RN，而赌庄对这N个结果出现的概率分布的判断是p1, p2,…pN。根据期望一致原理和我们前面得到的期望受益的计算公式，我们有(p1)(R1)-1=(p2)(R2)-1=…=(pN)(RN)-1。这是(N-1)个方程，再加上概率分布本身满足的方程p1+p2+…+pN=1 总共N个线性方程正好可以确定N个未知数p1, p2,…pN。

这个从赔率计算出的概率分布称为“名义概率分布”，它是赌庄通过公布赔率而名义上宣布的自己对概率分布的判断。在信息对称的情况下，这个被声称的判断和赌客们的判断是一致的，也是准确的。赌庄确定赔率的过程是和上面的计算过程相反的，它先通过自己判断的概率分布计算出各押注选项之间的赔率比例，然后根据自己想要的期望收益决定赔率的具体数值。举个例子，在一个特殊的轮盘赌的游戏中，转盘被分为3个面积不等的扇区，涂着3种不同的颜色。赌庄给这三种颜色指定的赔率分别是2，3，4。这样，赌庄相当于宣布说“我赌庄认为这三种颜色被指针选中的概率分别是6/13，4/13，3/13，我赌庄之所以这么认为是因为这三个扇区的面积之比是6:4:3，这一点你们也知道。我赌庄根据概率分布给出的赔率是2，3，4，所以不管你押哪一种颜色，你的期望收益都是-1/13=-7.7%，如果你想碰碰运气就请随意挑一种颜色下注，而我赌庄就打算盈利7.7%。”在这个游戏中，如果赌庄想盈利26.2%，那么只要把赔率设为1.6，2.4，3.2就可以了。这个新的赔率对应的仍然是原来那个概率分布。

三、信息不对称的情况

这种情况是指赌庄和赌客对赌博的内容掌握的信息不同，因而对概率分布的判断也不同。赌球正是这样一种情况。这种情况相当复杂，因为很难对各方掌握的信息乃至他们对概率分布的判断做出精确的评估，而且赌客的下注选择还受到心理因素的影响。一般来说，赌庄掌握着比赌客多得多的资源，能够获得更详尽更准确的信息，因此能够比大多数赌客更准确地判断概率分布（操纵比赛结果的非法行为我们就不考虑了）。这里我们不打算对非对称信息的情况作详细的分析，因为那过于复杂了。我们要分析的是，赌庄利用信息上的优势获得比“名义期望收益”（用名义概率分布和赔率算出的期望收益）更大收益的基本机制。

仍然为简单明确起见，我们做一些理想化的假设。我们假设赌庄掌握着完善的信息，能够准确地计算出实际的概率分布。我们还假设不同的个体赌客掌握着相同的信息，对概率分布有着同样的判断，而赌庄也知道赌客们的这个判断。最后我们要假设赌庄给出的名义期望收益是一个规定的数值，比如说10%。这是一个合理的假设，因为不同的赌庄之间会有竞争，最后就会形成规范，名义期望收益趋于一致，否则那些把名义期望收益定的较高的赌庄就会失去生意；这个机制和不同押注选项的期望收益一致的原理是相似的。

我们通过一个例子来看看赌庄能搞什么名堂。比如甲乙两队将争夺某锦标赛冠军，这两个队势均力敌，赌客们认为两队得冠军的概率是五五开。但是实际上甲队放了烟幕弹，他们声称受伤不能出场的主力得分手其实早已伤愈，比赛开始时就会出现在先发阵容里。而赌庄暗中掌握了这个情况，从而准确地计算出了甲队夺冠的概率是60%。我们来分析一下这时候赌庄采取不同行动带来的效果。不管赌庄怎么设定赔率，必须满足名义期望收益是10%（对赌客来说是-10%）。

1. 按照赌客的判断确定名义概率分布。这个概率分布是50%，50%，再加上名义期望收益等于10%的条件，甲乙两队夺冠的赔率设定为1.8，1.8。那么实际的期望收益是多少呢？押甲队夺冠的真正期望收益是G1=(1.8)(60%)-1=8%，押乙队夺冠的真正期望收益是G2=(1.8)(40%)-1=-28%。因为赌客认为两队机会是五五开，而且赌庄给出的名义概率分布也是这样的，所以最后押甲队的赌注和押乙队的赌注大致相等（现实中下注的赌客很多，偶然性比较小，反之如果只有两三个人下注这个结论就不成立了），这样一来赌庄的实际期望收益是(-8%+28%)/2=10%，和名义期望收益相等，没有更多的好处。

2. 使名义概率分布等于实际概率分布。这个概率分布是60%，40%，再加上名义期望收益等于10%的条件，甲乙两队夺冠的赔率设定为1.5，2.25。在这种情况下，因为赌庄是诚实的，所以实际期望收益和名义期望收益是相等的，都是10%，赌庄也没有更多的好处。当然，在这种情况下有些赌客会产生想法，他们想，两队势均力敌，而乙队的赔率高，押乙队有利！可是这些对赌庄都无所谓，因为甲乙两队的实际期望收益相等，不管分别有多少比例的赌注押在甲队和乙队上，赌庄的实际期望收益都是10%。

3. 使名义概率分布介于赌客的判断和实际概率分布之间，比如定为55%，45%，再加上名义期望收益等于10%的条件，甲乙两队夺冠的赔率设定为1.636，2。押甲队夺冠的真正期望收益是G1=(1.636)(60%)-1=-1.84%，押乙队夺冠的真正期望收益是G2=(2)(40%)-1=-20%。在这种情况下，如果所有的赌客完全信任赌庄，放弃自己的判断（有的赌客可能本来就没有什么主见）从而认为甲乙夺冠的概率分别为55%，45%，而且两队的期望收益相等，那么它们的赌注也会在两队之间平均分配，于是赌庄的实际期望收益是(1.84%+20%)/2=10.92%。这已经好于名义期望收益了。如果所有的赌客都坚持自己的看法，那么他们就会认为押乙队有利，从而把赌注都押在乙队上，这样赌庄的实际期望收益就是20%，大大好于名义期望收益。如果所有的赌客都认为赌庄是做了手脚，引诱自己去押对自己不利的乙队，那么他们就会把赌注都押在甲队上，从而使赌庄的实际期望收益只有1.84%。在现实中这三种赌客都存在，如果他们的人数（以及赌注）各占1/3，那么赌庄的实际期望收益是10.92%，略好于名义期望收益。但是我估计第三种赌客的人数（以及赌注）会比较少，所以赌庄的实际期望收益可以比名义期望收益高出可观的一块。

总而言之，赌庄掌握着更好的信息，这就是优势，通过在赔率上做文章还可以把这个优势转化为更多的利润。我可以想象在现实中赌庄有很多手段可以使用，尽量提高自己的实际期望收益。比如雇用民意测验公司调查球迷的判断，根据自己信息的更新和公开出现的各种相关新闻（对赌客的判断有影响）来随时调整赔率，等等等。

但是话又说回来，赌庄盈利从根本讲是要靠名义期望收益，就是公开的、大大方方理直气壮对赌客们宣布的那部分收益，而在赔率上做文章只能是锦上添花。这是因为赌庄在信息方面的优势不是绝对的，有专门的赌博咨询公司，他们雇佣专家给赌客下注提供建议，收取一定费用。因此在信息方面赌庄和赌客之间进行着“军备竞赛”。如果没有制度上的名义期望收益打底，那么赌庄本身和一个碰运气的赌徒无异，尽管他可能是一个高明的赌徒。

四、小破猫的赌局

我们先分析其中一个比较简单的：世界杯成绩最差的国家。其他两个复杂一些，以后再另文分析。我们根据小破猫给出的赔率算出名义概率分布和名义期望收益，你猜怎么着，赌客的名义期望收益是+15.92%！也就是说小破猫的名义期望收益是-15.92%，打算做慈善机构了。具体数字粘贴不方便，也放到以后的文章里。

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